• Математика МГУ-2005

    • Математика МГУ-2005. Решение задачи 9

      Разделим круг на 6 равных частей (можно вписать правильный 6-тиугольник).

      Диаметр любого сектора будем равен максимальному значению из радиуса круга (т. е. 1) и хорды между крайними точками (А и В) сектора. Найдем эту хорду.

      • Рассмотрим треугольник ОАВ (О - центр круга).
      • ОА = ОВ = 1 (как радиусы)
      • Угол АОВ = 60° (полный угол 360° разделили на 6 равных частей)
      • Угол ОАВ = углу ОВА (свойство равностороннего треугольника)
      • Сумма всех углов треугольника = 180°
      • Угол ОАВ + угол ОВА = 180° - угол АОВ = 180° - 60° = 120°
      • Углы ОАВ и ОВА равны по 60°
      • Все углы треугольника ОАВ равны, значит, и все стороны - тоже
      • Т. е. хорда АВ = 1
      Диаметр сектора = 1

      Если делить круг не на 6, а на 7 равных частей, то ОА и ОВ останутся равными 1, а АВ уменьшится (станет меньше 1). Но диаметр сектора все равно будет равен 1 (максимальное из АВ, ОА и ОВ)

      Примечание 1: почему мы делим круг радиусами на равные части? если делить на неравные, то хоть одна часть будет больше (хорда будет больше 1) и, соответственно, d тоже будет больше 1

      Примечание 2: почему мы делим круг радиусами? Если делить не радиусами, то возможны два варианта: 1) все 7 частей имеют равный выход на окружность (равные хорды), то тогда хотя бы у одной части ОА будет больше 1 (т. к. О - уже не центр круга) . 2) если же не все части имеют равный выход на окружность, то хотя бы у одной из них хорда будет больше 1.

      Итого: d=1