• Математика МГУ-2006

    1. Чашка до краев наполнена черным кофе в количестве 100 мл, а в кувшин налито 300 мл молока. Какое количество кофе надо перелить из чашки в кувшин и, перемешав, снова наполнить ее до краев полученной смесью, чтобы молока и кофе в чашке оказалось поровну?

    2. Решить уравнение

    3. На стороне АВ угла ABC = 30° взята такая точка D, что AD = 2 и BD = 1. Найти радиус окружности, проходящей через точки A, D и касающейся прямой ВС.

    4. Решить неравенство

    5. Ночью 7 художников по очереди изрисовали белую стену каждый своей краской. Каждый из них закрасил k% площади стены, не видя, что нарисовали предыдущие. Если на какой-нибудь участок стены попадали все 7 красок, он опять становился белым. При каких целых k гарантируется существование хотя бы одного белого участка стены?

    6. Некоторая прямая пересекает график функции y (x) = ax3 + bx + c ровно в трех различных точках, сумма ординат которых равна 6. В какой точке эта прямая пересекает ось ординат?

    7. При каких натуральных n система имеет решение?

    8. Квадратную (вид сверху) электроплиту, вплотную задвинутую в угол прямоугольной кухни, можно поворачивать по полу на произвольный угол вокруг любой из четырех ее ножек, расположенных в вершинах квадрата. Какое наименьшее число таких поворотов нужно совершить, чтобы в итоге, повернув электроплиту на 90°, поставить ее на прежнее место?

    9. Существуют ли рациональные числа x, y, u, v, удовлетворяющие уравнению

    10. Через точку, лежащую внутри тетраэдра, проведены четыре плоскости, параллельные граням тетраэдра и разбивающие его на части. Объемы четырех частей, примыкающих к вершинам тетраэдра, равны соответственно 2, 3, 9 и 18. Найти объем каждой из остальных частей тетраэдра.