Математика МГУ-2006. Решение задачи 8

Если плита стоит в углу, то вращать ее вокруг ножки A мешает стена. Вокруг C также мешает стена (т. к. CA > CB и CA > CD). Значит, вокруг D или B. Рассмотрим только один вариант "вокруг D", т. к. "вокруг B" - симметричен ему. После поворота (повоторотов) точка A₂ должна совпасть с B₁, а D - с A₁.

За одно вращение вокруг D это невозможно, т. к. D осталась на месте, а A₂ за одно вращение так и не совпала с B₁.

За два вращения также невозможно совместить все четыре точки: та ножка, вокруг которой вращают, находится на месте, а после вращения должна совпасть с нужной точкой; значит и до вращения она должна с ней совпадать. Но единственная совпадающая ножка после первого поворота - D, но она должна совпадать с A₁ или C₁.

А за три вращения - уже можно повернуть на 90 градусов:

1. вокруг D так, чтобы B₂ отстояло от B₁ на длину стороны квадрата х (см. ниже)
2. вокруг B₂ так, чтобы A₂ совпало с B₁ - получится точка A₃ (при условии, что B₁B₂ равно стороне квадрата - это возможно)
3. вокруг A₃

Рассмотрим подробнее первый поворот. Он будет на угол B₁DB₂. При этом в треугольнике B₁DB₂ стороны DB₁ и DB₂ равны между собой (это диагональ одной и той же плиты) и по теореме Пифагора равны х*sqrt (2). Сторона B₁B₂ по условиям поворота равна х.

Зная три стороны, желающие могут вычислить и угол (хотя в задаче это не спрашивается): биссектриса равнобедренного треугольника делит его на два равных прямоугольных треугольника. tg половины угла = x/(2*x*sqrt (2)) = 1/(2*sqrt (2))

Ответить Скрыть