• Математика МГУ-2007

    1. Из пункта А вышел пешеход. Одновременно с ним из пункта В во встречном направлении выехал велосипедист. Они двигались с постоянными скоростями, и через час расстояние между ними равнялось 3 км, а ещё через час - 14 км. Найти расстояние между пунктами А и В.

    2. Решить уравнение

    3. Какие значения, в зависимости от параметра a, может принимать выражение

    x12 + x1x2 + x22,

    в котором числа x1, x2 - два различных корня уравнения x3 - 2007x = a?

    4. Существует ли такой прямоугольный треугольник, что увеличенные на 1 оба его катета и гипотенуза являются соответственно катетами и гипотенузой другого прямоугольного треугольника? Тот же вопрос, если все три стороны исходного треугольника не увеличивать, а изменять на 1, т.е. увеличивать или уменьшать - каждую по своему усмотрению.

    5. Чему равно пятое (в порядке возрастания) из натуральных чисел n, удовлетворяющих неравенству

    sin 1 + sin 2 + … + sin n < 0?

    6. Окружность касается другой окружности в точке A, а её хорды BC - в точке D. Найти радиус второй окружности, если BC = 6 и угол BAD = 30°.

    7. Решить уравнение

    f(x, y, z) + |f(z, y, x)| = 0,

    где обозначено

    f(a, b, c) = (a + b + 2c + |a - b|) + |a + b - 2c + |a - b||.

    8. Последовательность a1, a2, … целых чисел для некоторой (неизвестной) константы k удовлетворяет при каждом натуральном n > 1 условию an-1an+1 = kan. Найти a2007, если a1 = 1 и a2a3 = 2007.

    9. Найти все тройки положительных чисел x, y, z, удовлетворяющие системе

    10. Дан тетраэдр, две вершины которого отмечены. Для каждого натурального числа n выяснить, на какое наибольшее число частей могут разбить этот тетраэдр n плоскостей, каждая из которых проходит хотя бы через одну из отмеченных вершин.

    Reply Follow