Математика (для 10-го класса) МГУ-2007

1. В квадрате ABCD точки K и L являются серединами сторон BC и CD соответственно. Отрезки AL и DK пересекаются в точке M. Найдите площадь четырехугольника KCLM, если площадь треугольника AMD равна 4 .

2. Турист отправляется в поход из A в B и обратно и проходит весь путь за 3 ч 41 мин. Дорога из A в B идет сначала в гору, потом по ровному месту, потом под гору. На каком протяжении дорога проходит по ровному месту, если скорость туриста при движении в гору 4 км/ч, под гору 6 км/ч, по ровному месту 5 км/ч, а расстояние от A до B составляет 9 км.

3. Найдите наименьшее значение выражения |33-40k-25n| при целых k и n.

4. Найдите площадь прямоугольного треугольника, если вписанная в него окружность касается гипотенузы в точке, делящей ее на отрезки a и b.

5. Решить систему уравнений

6. На доске записаны числа 1 , 1/2 ,1/3, …,1/12 .
a) Докажите, что между этими числами нельзя расставить знаки "+"и "-" так, чтобы полученная сумма оказалась равной нулю.
b) Какое наименьшее количество чисел нужно вычеркнуть так, чтобы после некоторой расстановки знаков "+"и "-" между оставшимися числами получить сумму, равную нулю?
c) Какое наименьшее ненулевое количество чисел можно оставить так, чтобы после некоторой расстановки знаков "+"и "-" между оставшимися числами можно было получить сумму, равную нулю?

7. Для любого ли треугольника с длинами сторон a, b, c и длинами соответствующих медиан m_a, m_b, m_c существует треугольник с длинами сторон a+m_a, b+m_b, c+m_c?

8. Каждое из четырех чисел a, b, c и d положительно и меньше 1. Докажите, что тогда среди чисел 4a(1-b), 4b(1-c), 4c(1-d), 4d(1-a) найдется хотя бы одно не большее единицы.

9. Какое наибольшее количество точек можно выбрать в круге радиуса 1 так, чтобы расстояние между любыми двумя было бы:
a) больше 1;
b) равно1?

10. Для каждой пары чисел a и b (a>0) найдите наименьшее значение выражения f(3-f(4-5x)) , где f(x)=a(x-2)²+b.

11. На стороне AB треугольника ABC выбрана точка D, а на стороне BC этого треугольника - точка E. Отрезки AE и CD пересекаются в точке F. Площади треугольников ADF, AFC и FEC равны соответственно S₁, S₂ и S₃ , а площадь четырехугольника FDBE равна S₄. Известно, что среди четырех чисел S₁, S₂, S₃, S₄ три равны между собой. Найдите все возможные значения отношения S₁/S₂.

12. Пять отрезков таковы, что любые три из них являются сторонами некоторого треугольника. Могут ли все такие треугольники быть тупоугольными?

13. Существуют ли две последовательности a₁, a₂,…, a_n и k₁, k₂,…, k_n, состоящие из натуральных чисел, больших единицы, таких, что последовательность a₁^k1, a₂^k2,…, a_n^kn является арифметической прогрессией при:
a) n = 3;
b) n = 4;
c) n = 2007.

14. В шахматном турнире участвует m шахматистов. Каждый шахматист играет с каждым по одному разу и получает: за победу 1 очко, за поражение 0 очков, а за ничью 1/2 очка. Какой максимальный разрыв в очках может быть между шахматистами, занявшими соседние места?